Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=(x+2)*(x+2)*(x+2)*(x+2) - 2 на отрезке [-1;4]

Преобразуем функцию:

y = (x + 2) * (x + 2) * (x + 2) * (x + 2) - 2 = (х + 2)⁴ - 2.

1) Найдем производную данной функции.

y = (х + 2)⁴ - 2.

у\' = 4(х + 2)³ * (х + 2)\' = 4(х + 2)³.

2) Приравняем производную к нулю.

у\' = 0; 4(х + 2)³ = 0; х + 2 = 0; х = -2.

3) Определим знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; -2) пусть х = -3, у\' = 4(х + 2)³ = 4(-3 + 2)³ = -4. Производная отрицательна, функция убывает.

(-2; +∞) пусть х = 0, у\' = 4(0 + 2)³ = 32. Производная положительна, функция возрастает.

4) Находим точки экстремума. Получается х = -2 это точка минимума функции, но она не входит в промежуток [-1; 4]. На данном промежутке функция возрастает, значит:

х_max = 4.

х_min = -1.

5) Найдем минимальное значение функции:

х = -1, y = (х + 2)⁴ - 2 = (-1 + 2)⁴ - 2 = 1 - 2 = -1.

Найдем максимальное значение функции:

х = 4; y = (4 + 2)⁴ - 2 = 1294.

Ответ: минимальное значение функции на промежутке [-1; 4] равно -1, а максимальное значение равно 1294.