Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения x^2-ax+a+7=0 равна 10

х^2 - ах + а + 7 = 0 - это квадратное уравнение, в котором коэффициент а = 1, коэффициент b = -a, коэффициент с = а + 7. Чтобы у квадратного уравнения было 2 корня, надо, чтобы его дискриминант был положительным.

D = b^2 - 4ac;

D = (-a)^2 - 4 * 1 * (a + 7) = a^2 - 4a - 28. 

Найдем корни уравнения при условии, что а^2 - 4а - 28 > 0.

х = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (a + √D)/2; x2 = (a - √D)/2.

Запишем сумму квадратов корней:

(х1)^2 + (х2)^2 = ((а + √D)^2)/4 + ((a - √D)^2)/4) = ((a^2 + 2a√D + D) + (a^2 - 2a√D + D))/4 = (a^2 + 2a√D + D + a^2 - 2a√D + D)/4 = (2a^2 + 2D)/4 = (2a^2 + 2(a^2 - 4a - 28))/4 = (2a^2 + 2a^2 - 8a - 56)/4 = a^2 - 2a - 14 - это выражение приравняем к 10;

a^2 - 2a - 14 = 10;

а^2 - 2а - 24 = 0;

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 24 = 4 + 96 = 100; √D = 10;

a1 = (2 + 10)/2 = 12/2 = 6;

a2 = (2 - 10)/2 = -8/2 = -4.

Проверим корни.

1) а = 6; а^2 - 4а - 28 = 6^2 - 4 * 6 - 28 = 36 - 24 - 28 < 0, значит, 6 - посторонний корень;

2) а = -4; (-4)^2 - 4 * (-4) - 28 = 16 + 16 - 28 > 0, значит (-4) - наше решение.

Ответ. При а = -4.