Решить уравнение: x^3+2*x^2-1=0

х^3 + 2х^2 - 1 = 0 - представим второе слагаемое в виде суммы двух выражений; 2х^2 = х^2 + х^2;

х^3 + х^2 + х^2 - 1 = 0 - сгруппируем первые два слагаемых и вторые два слагаемых;

(х^3 + х^2) + (х^2 - 1) = 0 - из первой скобки вынесем общий множитель х^2; вторую скобку разложим на множители по формуле разности квадратов двух выражений а^2 - в^2 = (а - в)(а + в);

х^2(х + 1) + (х + 1)(х - 1) = 0 - вынесем за скобку общий множитель (х + 1);

(х + 1)(х^2 + х - 1) = 0 - произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю;

1) х + 1 = 0;

х = -1;

2) х^2 + х - 1 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 1^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5; √D = 5;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (-1 + √5)/2;

x2 = (-1 - √5)/2.

Ответ. -1; (-1 + √5)/2; (-1 - √5)/2.

Дано уравнение третьей степени. Обычно целыми корнями в уравнении третьей степени являются делители свободного члена (числа без х).

Решим данное уравнение разложением многочлена на множители с помощью схемы Горнера.

Алгоритм разложения на множители по схеме Горнера

1. Найти все целые делители свободного члена.
2. Выписать все коэффициенты многочлена.
3. Подставлять все коэффициенты по схеме Горнера, пока ответом не будет 0.
4. Первой скобкой будет (х - х₁).
5. Во вторую скобку складываем ноый многочлен с новыми коэффициентами, понижая степень на 1.
6. Приравнять каждую скобку к нулю, тем самым найти корни уравнения.

Находим делители свободного члена

В уравнении x³ + 2x² - 1 = 0 свободным членом является число -1.

Делителями числа (-1) являются: 1 и -1.

x³ + 2x² + 0х - 1 = 0

Выписываем все коэффициенты (включая свободный член): 1, 2, 0 и -1.

Пробуем 1: 1 * 1 + 2 = 3; 1 * 3 + 0 = 3; 1 * 3 + (-1) = 2 (не подходит).

Пробуем -1: -1 * 1 + 2 = 1; -1 * 1 + 0 = -1; -1 * (-1) + (-1) = 0 (подходит).

Значит, первый корень равен -1, первая скобка будет (х + 1). Во вторую скобку собираем новый многочлен с новыми коэффициентами, понижая степень на 1: 1х² + 1х - 1 = х² + х - 1.

Решим полученное уравнение

(х + 1)(х² + х + 1) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Отсюда х + 1 = 0; х = -1.

Или х² + х + 1 = 0.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = 1 - 4 = -3 (дискриминант меньше нуля, корней нет).

Ответ: корень уравнения равен -1.

Выполним проверку:

x³ + 2x² - 1 = 0.

(-1)³ + 2 * (-1)² - 1 = 0.

-1 + 2 - 1 = 0.

0 = 0 (верно).