Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии,если b5=-6,b7=-54.

Дано: (b_n)… – геометрическая прогрессия;

b₅ = -6; b₇ = -54;

Найти:  S₆ - ?

Формула члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n – 1),

где b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.

С помощью этой формулы запишем пятый, шестой и седьмой члены заданной прогрессии:

b₅ = b₁ * q^(5 – 1) = b₁ * q^4.

b₆ = b₁ * q^(6 – 1) = b₁ * q^5;

b₇ = b₁ * q^(7 – 1) = b₁ * q^6.

Т.о. имеем: b₁ * q^4 = -6 и b₁ * q^6 = -54.

Составим систему уравнений:

b₁ * q^4 = -6,                      (1)

b₁ * q^6 = -54                     (2)

Из (1) уравнения выразим b₁:

b₁ = -6 : q^4.

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

-6 : q^4 * q^6 = -54;

-6 * q^2 = -54;

q^2 = 9;

q = ±3.

Исходя из того, что b₅ и b₇ члены прогрессии отрицательные, можем сделать вывод, что q>0, т.е. q = 3.

Теперь, подставим полученное значение q в выражение для нахождения b₁:

b₁ = -6 : q^4 = -6 : 3^4 = -6/81 = -2/27.

Вычислим b₆: b₆ = b₁ * q^5 = -2/27 * 3^5 = -18.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q – b₁) / (q – 1);

Значит, S₆ = (b₆ * q – b₁) / (q – 1) = ((-18) * 3 – (-2/27)) / (3 – 1) = (-1456/27) / 2 = -728/27 = -26,(962).

Ответ: S₆ = -26,(962).