Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:5:10. Найдите радиус

Дуги пропорциональны центральным углам. Всего частей 3 + 5 + 10 = 18.

Одна часть составляет 360° / 18 = 20°.

Наименьшая дуга соответствует центральному углу a:

20° * 3 = 60°;

Стороны треугольника, опирающиеся на  дугу величиной в 60°, образуют  угол, равный половине центрального угла:

60° / 2 = 30°.

Наименьшая сторона а = 13 см расположена напротив наименьшего угла a= 30°.

По теореме синусов:

a / sin a = 2R;

R = a / (2 * sin a) = 13 / (2 * 0,5) = 13 см.

Ответ. R = 13 см.

Примечание. Можно было не прибегать к теореме синусов, если вспомнить, что хорда, опирающаяся на дугу в 60°, равна радиусу окружности, как сторона правильного вписанного шестиугольника.