F(x)=2x^3-3x^2-12x+8 найти экстремумы

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти точки экстемума (минимум и максимум). Для этого найдем нули производной и определим знаки производной на каждом промежутке.

f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 8.

Найдем производную функции:

f\'(x) = 6x² - 6x - 12.

Найдем нули производной: 6x² - 6x - 12 = 0.

Поделим уравнение на 6: x² - x - 2 = 0.

D = 1 + 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (1 - 5)/2 = -2;

х₂ = (1 + 5)/2 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -2 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Там, где ветви параболы вверху, на том интервале ставим знак (+), где парабола под осью х, на том интервале знак (-).

(-∞; -2) производная (+), функция возрастает.

(-2; 3) производная (-), функция убывает.

(3; +∞) производная (+), функция возрастает.

Значит, -2 - это точка максимума функции, а 3 - это точка минимума функции.

Найдем экстремумы функции:

х_max = -2; у = 2 * (-2)³ - 3 * (-2)² - 12 * (-2) + 8 = -16 - 12 + 24 + 8 = 4.

х_min = 3; у = 2 * 3³ - 3 * 3² - 12 * 3 + 8 = 54 - 27 - 36 + 8 = -1.

Ответ: экстремумы функции равны -1 и 4.