исследовать функцию y=2x-1/x*x

y = (2x - 1)/x².

1) Область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число, кроме нуля (в знаменателе не может быть 0).

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

y = (2x - 1)/х².

2x – 1 = 0;

 2x = 1;

x = 1/2;

График функции пересекает ось х в точке (1/2; 0).

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = (2 * 0 - 1)/0². Делиь на ноль нельзя, точек пересечения с осью у нет.

3) Определим четность функции.

f(x) = (2x - 1)/х².

f(- x) = (2 * (-x) - 1)/(-х)² = (-2x - 1)/х².

f(x) не равно f(-x) и f(x) не равно -f(-x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точке (1/2; 0).

Определим знак функции на каждом промежутке:

(-∞; 1/2) пусть х = (-1), у = (2 * (-1) - 1)/(-1)² = (-2 – 1)/1 = -3.

(19; +∞) пусть х = 1, у = (2 * 1 - 1)/1² = (2 – 1)/1 = 1.

у > 0  на промежутке (-∞; 1/2).

у < 0 на промежутке (19; +∞).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = (2x - 1)/х².

f`(x) = ((2x – 1)\' * х² - (2x - 1) * (х²)\')/х⁴ = (2x² - (2х – 1) * 2х)/х⁴ = (2x² - 4х² + 2х)/х⁴ = (2x - 2х²)/х⁴ = (2 – 2х)/х³.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0;

(2 – 2х)/х³= 0;

2 – 2х = 0; 2х = 2; х = 1.

 (-∞; 1) пусть х = -1; у\' = (2 – 2 * (-1))/(-1)³ = 4/(-1) = -4, производная (-), функция убывает.

(1; +∞) пусть х = 2; у\' = (2 – 2 * 2)/2³ = -2/8 = -1/4, производная (-), функция убывает.

Значит, функция убывает на всей своей протяженности.