5sin2x+5 sin квадрат x+3=0

5sin2x + 5sin²x + 3 = 0.

Синус двойного угла sin2x = 2sinxcosx. Представим 3 как 3 * 1, а единицу как 1 = sin²a + cos²а.

5 * 2sinxcosx + 5sin²x + 3(sin²a + cos²а) = 0.

10sinxcosx + 5sin²x + 3sin²a + 3cos²а = 0.

8sin²x + 10sinxcosx + 3cos²а = 0.

Поделим уравнение на cos²x (ОДЗ: cosx не равен 0).

8sin²x/cos²x + 10sinxcosx/cos²x + 3cos²а/cos²x = 0.

8tg²x + 10tgx + 3 = 0.

Введем новую переменную, пусть tgx = а.

8а² + 10а + 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 8; b = 10; c = 3;

D = b² - 4ac; D = 10² - 4 * 8 * 3 = 100 - 96 = 4 (√D = 2);

x = (-b ± √D)/2a;

а₁ = (-10 - 2)/(2 * 8) = -12/16 = -3/4.

а₂ = (-10 + 2)/16 = -8/16 = -1/2.

Вернемся к замене tgx = а.

а = -3/4; tgx = -3/4; х = arctg(-3/4) + Пn, n - целое число.

а = -1/2; tgx = -1/2; х = arctg(-1/2) + Пn, n - целое число.