При каких значениях параметра b уравнение x^4-(4b+2)x^2+3b^2+2b=0 имеет два различных решения?

   1. Обозначим:

      y = x^2; (1)

      x^4 - (4b + 2)x^2 + 3b^2 + 2b = 0;

      x^4 - 2(2b + 1)x^2 + 3b^2 + 2b = 0; (2)

      y^2 - 2(2b + 1)y + 3b^2 + 2b = 0. (3)

   2. Вычислим дискриминант:

      D/4 = (2b + 1)^2 - (3b^2 + 2b) = 4b^2 + 4b + 1 - 3b^2 - 2b = b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2;

      y = 2b + 1 ± √((b + 1)^2);

      y = 2b + 1 ± |b + 1|;

      y = 2b + 1 ± (b + 1);

   a) при b = -1 получим единственный отрицательный корень:

      y = 2 * (-1) + 1 = -1.

   b) b ≠ -1;

• y1 = 2b + 1 - (b + 1) = 2b + 1 - b - 1 = b;
• y2 = 2b + 1 + (b + 1) = 2b + 1 + b + 1 = 3b + 2.

   3. Уравнение (2) будет иметь два различных корня, если один из корней y1 и y2 положительный, а другой - отрицательный:

   a)

• {b < 0;{3b + 2 > 0;
• {b < 0;{3b > -2;
• {b < 0;{b > -2/3;

      b ∈ (-2/3; 0).

   b)

• {b > 0;{3b + 2 < 0;
• {b > 0;{3b < -2;
• {b > 0;{b < -2/3;

   нет решений.

Ответ: (-2/3; 0).