сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18 ,а произведение второго и третьего ее членов равна 21

Воспользуемся формулой n – ого члена арифметической прогрессии a_n = a₁+ d · (n - 1).

По условию:

а₂ + a₅ = 18.

а₂ * a₃ = 21.

Выразим члены прогрессии через a₁ и подставим их в равенства.

a₂ = a₁ + d.

a₃ = a₁ + 2 * d.

a₅ = a₁ + 4 * d.

(a₁ + d) + (a₁ + 4 * d) = 18.

(a₁ + d) * (a₁ + 2  * d) = 21.

(2 * a₁) + (5 * d) = 18.

2 * a₁ = 18 – (5 * d).

a₁ = (18 – (5 * d)) / 2.     

Подставим а₁ в равенство (a₁ + d) * (a₁ + 2  * d) = 21.

((18 – (5 * d)) / 2) + d) * ((18 – (5 * d)) / 2) + 2 * d) = 21.

((18 – (5 * d)) / 2) + (2 *d) / 2 ) * ((18 – (5 * d)) / 2) + (4 * d) / 2) = 21.

((18 – (5 * d)) + 2 * d) * ((18 – (5 * d)) + 4 * d) = 84.

(18 – 3 * d) * (18 – d) = 84.

324 – 54 * d – 18 * d + 3 * d² = 84.

3 * d² – 72 * d + 240 = 0.

d² – 24 * d + 80 = 0.

Решим квадратное уравнение.                                     

D = b² – 4 * a * c = (-24)² – 4 * 1 * 80 = 576 - 320 = 256.

d₁ = (24 – √256) / (2 * 1) = (24 – 16) / 2 = 8 / 2 = 4.

d₂ = (24 + √256) / (2 * 1) = (24 + 16) / 2 = 40 / 2 = 20.

Найдем первый член прогрессии для обоих корней.

d = 4.

а₁ = (18 – (5 * 4)) / 2 = -1.            

d = 20.

а₁ = (18 – (5 * 20)) / 2 = -41.

Второй корень не подходит, так как второй член пропорции в таком случае равен (-21), что противоречит условию.                                                              

Ответ: а₁ = -1, d = 4.