Докажите, что выражение x^2+y^2-2xy+4x-4y+5 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него

Докажем, что выражение x^2 + y^2 – 2 * x * y + 4 * x – 4 * y + 5 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных.  

Упростим выражение и получим: 

Проверим:

Пусть х = 1, у = 1, тогда подставим известные значение в выражение и вычислим его значение. 

x^2 + y^2 – 2 * x * y + 4 * x – 4 * y + 5;

(x^2 – 2 * x * y + y^2) + 4 * (x – y) + 5;

(x - y)^2 + 4 * (x – y) + 5; 

Значит, при любых значениях х и у выражение принимает положительное значение.

Получаем: 

x^2 + y^2 – 2 * x * y + 4 * x – 4 * y + 5 = 1^2 + 1^2 – 2 * 1 * 1 + 4 * 1 – 4 * 1 + 5 = 1 + 1 – 2 + 4 – 4 + 5 = 2 – 2 + 0 + 5 = 0 + 5 = 5.