Докажите,что выражение 4x²+2y²-4xy-4x+2y+3 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него

Проведем преобразования данного выражения:

4 * x² + 2 * y² - 4 * x * y - 4 * x + 2 * y + 3 =

= 2 * x² + 2 * x² + y² + y² - 4 * x * y  - 4 * x + 2 * y + 3 =

= (2 * x² - 4 * x * y  + y²) + (2 * x² - 4 * x + 2) -2 +(y² + 2 * y + 1) +2 =

= (2 * x - y)² + 2 * (x - 1)² - 2 +(y + 1)² +2 =

= (2 * x - y)² + 2 * (x - 1)² +(y + 1)²  >= 0.

Выражение было бы равно 0, если все 3 уравнения верны

2 * x - y = 0,

x - 1 = 0,

y + 1 = 0.

Но тогда x = 1, y = -1, y = 2 * x не может быть верным при x = 1, y = -1.

Следовательно, данное выражение при любых значениях входящих в него переменных положительно:

(2 * x - y)² + 2 * (x - 1)² +(y + 1)²  > 0, что и требовалось доказать.