Докажите, что выражение x²+2y²-2xy+4x-4y+5 принимает лишь не отрицательное значение.

X^2 + 2 * y^2 – 2 * x * y + 4 * x – 4 * y + 5 =

=  (X^2 + y^2 – 2 * x * y) +  y^2 + 4 * x – 4 * y + 5 =

=  (x – y)^2 +  (y^2  – 4 * y  + 4) + 4 * x + 1 =

=  (x – y)^2 +  (y – 2)^2 + (4 * x + 1 + 4 * x^2) – 4 * x^2 =

=  (x – y)^2 +  (y – 2)^2 + (2 * x + 1)^2 – 4 * x^2.

Все члены являются положительными.

(x – y)^2 > 0,

(y – 2)^2 > 0,

(2 * x + 1)^2 – 4 * x^2 = (2 * x + 1)^2 – (2 * x)^2 > 0.

А из выражения (x – y)^2 +  (y^2  – 4 * y  + 4) + 4 * x + 1 видно, что при отрицательных значениях х, выражение может равняться нулю.

Таким образом, исходное выражение может принимать лишь неотрицательное значение.