Найдите остаток от деления числа 15²⁰¹⁴ на 11.

По теории об остатках от деления остатки от произведения множителей равно произведению остатков от деления этих множителей. 

15²⁰¹⁴ : 11 = (15 : 11)²⁰¹⁴ = [ 1 + (4)]²⁰¹⁴ = (4)²⁰¹⁴.

Рассмотрим остатки от деления на 11 степеней числа 4.

4 : 11 = 0 + (4); 16 : 11 = 1 + (5); 4^3 = 64 : 11 = 5 + (9);

4^4 = 256 ^ 11 = (253 + 3) : 11 = 23 * 11 + (3);

4^5 = 1024 : 11 = (1023 + 1) : 11 = 93 * 11 + (1). Остаток (1).

В степени 2017 = 5 * 403 + 2. Остаток от 4^2 : 11 = 16 : 11 = 1 + (5)

Остаток равен (1)^2015 * (5) = 5.