Разложите на множители выражение: 1) а²+b²+c²-2ab+2bc-2ac 2) 9x³+3x²+3x+1

Решение:

1). Группируем слагаемые следующим образом:

a² + b² + c² − 2ab − 2bc – 2ac = (b² + c² − 2bc) – (2ab + 2ac) + a².

В первой скобке выражение квадрата разности, свернём его по формуле (а – b)² = (а² – 2ab + b²). Во второй скобке вынесем общий множитель 2а:

(b² + c² − 2bc) – (2ab + 2ac) + a² = (b + c)² – 2а(b + c) + a².

Полученное выражение есть квадрат разности, где а = b + c, а b = a. Упростим его:

(b + c)² –2а(b + c) + a² = (b + c – a)².

2). Разложим 9х³ в виде суммы и \"свернём\" по формуле куб суммы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³:

9х³ + 3х² + 3х + 1 = 8х³ + (х³ + 3х² + 3х + 1) = (2х)³ + (х + 1)³.

Разложим на множители через формулу суммы кубов a³ + b³ = (а + b)(а² + ab + b²):

(2х)³ + (х + 1)³ = (2х + х + 1)((2х)² − 2х(х + 1) + (х + 1)²) = (3х + 1)(4х² − 2х² − 2х + х² + 2х + 1) = (3х + 1)(3х² + 1).

Ответ: 1). a² + b² + c² − 2ab − 2bc – 2ac = (b + c – a)²; 2). 9х3 + 3х² + 3х + 1 = (3х + 1)(3х² + 1).