Разложите на множители: 1)(a-2b)³+8b³ 2)27-(x-2)³ 3)(m+1)³+64

Решение:

Для разложения данных выражений на множители воспользуемся:

1 шаг. Формулами разность кубов а³ –b³ = (a – b)(а² +ab + b²) или сумма кубов а³ + b³ = (a + b)(а² – ab + b²).

2 шаг. Формулами квадрат  разности (а – b)² = (а² – 2ab + b²) или квадрат суммы (а + b)² = (а² + 2ab + b²).

3 шаг. В первом выражении – формулой разность квадратов а² – b² = (a – b)(а + b), во втором и третьем  - поиском корней квадратного уравнения через дискриминант.

1). (a – 2b)³ + 8b³ = (a – 2b)³ + (2b)³ = (a – 2b + 2b)((a – 2b)² – 2b(a – 2b) + 4b²) = a(a² – 4аb + 4b² – 4аb + 4b² + 4b²) = a(a² – 8аb + 12b²) = a((a² – 2 ∙ 4аb + 16b²) – 16b² + 12b²) = a((a – 4b)² – 4b²) = a(a – 4b – 2b)(a – 4b + 2b) = a(a – 6b)(a – 2b).

2). 27 – (x – 2)³ = 3³ – (x – 2)³ = (3 – (x – 2))(9 + 3(х – 2) + (x – 2)²) = (3 – x + 2)(9 + 3х – 6 + x² – 4х +4) = (5 – x)(x² – х +7).

Дискриминант уравнения x² – х +7 = 0 D = – 27 < 0, т.е. корней нет, дальнейшего разложения быть не может.

3). (m + 1)³ + 64 = (m + 1)³ + 4³ = (m + 1 + 4)((m + 1)² – 4(m + 1) + 16) = (m + 5)(m² + 2m + 1 – 4m – 4 + 16) = (m + 5)(m² – 2m + 13).

В уравнении m² – 2m + 13 = 0:

 D = – 48 < 0, корней нет, поэтому разложение на множители окончательное.

Ответ: 1). (a – 2b)³ + 8b³ = a(a – 6b)(a – 2b); 2). 27 – (x – 2)³ = (5 – x)(x² – х +7); 3). (m + 1)³ + 64 = (m + 5)(m² – 2m + 13).