найдите сумму первых 24 членов арифметической прогрессии если a6-a4=-5 a10+a2=-46

Дано: (a_n) – арифметическая прогрессия;

a₆ - a₄ = -5; a₁₀ + a₂ = -46;

Найти: S₂₄ - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d * (n - 1).

Значит: a₆ = a₁ + 5d, a₄ = a₁ + 3d, следовательно,

a₆ - a₄ = (a₁ + 5d) – (a₁ + 3d) = a₁ + 5d – a₁ - 3d  = 2d = -5.

a₁₀ = a₁ + 9d, a₂ = a₁ + d, следовательно,

a₁₀ + a₂ = a₁ + 9d + a₁ + d = 2a₁ + 10d = -46.

Решим систему уравнений:

2a₁ + 10d = -46,                 (1)

2d = -5                               (2)

Из (2) уравнения выразим d = -5/2 = -2,5.

Подставим полученное значение d в (1) уравнение:                         

2a₁ + 10 * (-2,5) = -46;

2a₁ = 21;

a₁ = 10,5.

a₂₄ = a₁ + 23d  = 10,5 + 23 * (-2,5) = -47.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2,

значит S₂₄ = (a₁ + a₂₄) * 24 / 2 = (10,5 - 47) * 12 = 438.

Ответ: S₂₄ = 438.