Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность между пятым и третьим членами равна 72, а разность между

Дано: (b_n) -  геометрическая прогрессия;

b₅ - b₃ = 72, b₄ – b₂ = 36;

Найти: q - ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n-1), где:

b₁ – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии.

Выразим 2-й, 3-й, 4-й и 5-й члены прогрессии через формулу n-го члена:

b₂ = b₁ * q^(2-1) = b₁ * q;

b₃ = b₁ * q^(3-1) = b₁ * q^2;

b₄ = b₁ * q^(4-1) = b₁ * q^3;

b₅ = b₁ * q^(5-1) = b₁ * q^4;

Т.о. b₅ - b₃ = b₁ * q^4 – b₁ * q^2 = 72;

       b₄ - b₂ = b₁ * q^3 – b₁ * q = 36.

Составим и решим систему уравнений:

b₁ * q^4 – b₁ * q^2 = 72,             (1)

b₁ * q^3 – b₁ * q = 36                  (2)

Преобразуем уравнения:

b₁ * q^2 * (q^2 – 1) = 72,            (1)

b₁ * q * (q^2 – 1) =36                  (2)

Выразим b₁ из (1) уравнения системы:

b₁ = 72 /  q^2 * (q^2 – 1).

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

72 /  q^2 * (q^2 – 1) * q * (q^2 – 1) =36;

72 q* (q^2 – 1) / q^2 * (q^2 – 1) = 36;

Произведём сокращения в числителе и знаменателе дроби и получим:

72 / q = 36;

q = 72 : 36;

q = 2.

Подставив значение q в (1) уравнение системы, можем так же вычислить первый член заданной геометрической прогрессии: b₁ = 72 /  2^2 * (2^2 – 1) = 6.

Ответ: q = 2.