Найти экстремумы функции : 1) f(x)=x^3-x^2-x+2. 2) f(x) = (5-4x)e^x

   1. f(x) = x^3 - x^2 - x + 2.   a) точки экстремума:

      f\'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = 0;

      D/4 = 1^2 + 3 * 1 = 4;

      x = (1 ± √4)/3 = (1 ± 2)/3;

• x1 = (1 - 2)/3 = -1/3;
• x2 = (1 + 2)/3 = 3/3 = 1.

   b) промежутки монотонности:

• 1) x ∈ (-∞; -1/3), f\'(x) > 0;
• 2) x ∈ (-1/3; 1), f\'(x) < 0;
• 3) x ∈ (1; ∞), f\'(x) > 0.

   с) экстремумы функции:

      x = -1/3 - точка максимума:

      f(max) = f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 = (-1 - 3 + 9 + 54)/27 = 59/27;

      x = 1 - точка минимума:

      f(min) = f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1.

   2. f(x) = (5 - 4x)e^x.   a) точки экстремума:

      f\'(x) = (5 - 4x)e^x - 4e^x = e^x(5 - 4x - 4) = e^x(1 - 4x) = 0;

      1 - 4x = 0;

      4x = 1;

      x = 1/4.

   b) промежутки монотонности:

• 1) x ∈ (-∞; 1/4), f\'(x) > 0;
• 2) x ∈ (1/4; ∞), f\'(x) < 0.

   с) экстремум функции:

      x = 1/4 - точка максимума:

      f(max) = f(1/4) = (5 - 4 * 1/4)e^(1/4) = 4e^(1/4).

   Ответ:

• 1) f(max) = f(-1/3) = 59/27; f(min) = f(1) = 1;
• 2) f(max) = 4e^(1/4).