2sin^2 x + sin x ≥ 0

Введем новую переменную, пусть sinx = а.

Получается неравенство: 2а² + а ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = 2а² + а, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 2а² + а = 0; а(2а + 1) = 0.

Отсюда а = 0.

Или 2а + 1 = 0; 2а = -1; а = -1/2.

Отмечаем на числовой прямой точки -1/2 и 0, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -1/2] и [0; +∞).

Значит, а ≤ -1/2 и а ≥ 0.

Вернемся к замене sinx = а.

sinx ≤ -1/2, х принадлежит промежутку [-5П/6; -П/6].

sinx ≥ 0, х принадлежит промежутку [0; П].