найдите произведение корней уравнения (x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=170

Умножим первую и третью скобки, и умножим вторую и четвертую скобки по правилу умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

((х - 2)(х + 4))((х - 3)(х + 5)) = 170;

(х^2 + 4х - 2х - 8)(х^2 + 5х - 3х - 15) = 170;

(х^2 + 2х - 8)(х^2 + 2х - 15) = 170.

Введём новую переменную х^2 + 2х = у.

(у - 8)(у - 15) = 170;

у^2 - 15у - 8у + 120 - 170 = 0;

у^2 - 23у - 50 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-23)^2 - 4 * 1 * (-50) = 529 + 200 = 729; √D = 27;

x = (-b ± √D)/(2a);

у1 = (23 + 27)/2 = 50/2 = 25;

у2 = (23 - 27)/2 = -4/2 = -2.

Выполним обратную подстановку.

1) х^2 + 2х = 25;

х^2 + 2х - 25 = 0;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-25) = 104 > 0, значит уравнение имеет два корня.

По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену.

х1 * х2 = -25.

2) х^2 + 2х = -2;

х^2 + 2х + 2 = 0;

D = 2^2 - 4 * 2 = -4 < 0, значит, уравнение не имеет корней.

Ответ. -25.