Найдите произведение корней уравнения (x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=170

Перемножим первую скобку с третьей, и перемножим вторую скобку с четвертой.

((х - 2)(х + 4))((х - 3)(х + 5)) = 170;

(х^2 + 4х - 2х - 8)(х^2 + 5х - 3х - 15) = 170;

(х^2 + 2х - 8)(х^2 + 2х - 15) = 170.

Введём новую переменную х^2 + 2х = у.

(у - 8)(у - 15) = 170;

у^2 - 15у - 8у + 120 - 170 = 0;

у^2 - 23у - 50 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-23)^2 - 4 * 1 * (-50) = 529 + 200 = 729; √D = 27;

x = (-b ± √D)/(2a);

y1 = (23 + 27)/2 = 25;

y2 = (23 - 27)/2 = -2.

Выполним обратную подстановку.

1) х^2 + 2х = 25;

х^2 + 2х - 25 = 0;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-25) = 4 + 100 = 104; √D = √104 = √(4 * 26) = 2√26;

x1,2 = (-2 ± 2√26)/2 = -1 ± √26.

2) х^2 + 2х = -2;

х^2 + 2х + 2 = 0;

D = 2^2 - 4 \" 1 * 2 = 4 - 8 = -4 < 0.

Корней нет.

Найдем произведение корней.

(-1 + √26)(-1 - √26) = (-1)^2 - (√26)^2 = 1 - 26 = -25.

Ответ. -25.