sin3x + sinx :cosx=0

Решим тригонометрическое уравнение и найдем его корни.   

(sin (3 * x) + sin x) : cos x = 0; 

Уравнение не имеет корне при cos x = 0; 

x не равен pi/2 + 2 * pi * n, n принадлежит Z; 

Решим уравнение sin (3 * x) + sin x = 0; 

2 * sin ((3 * x + x)/2) * cos ((3 * x - x)/2) = 0; 

2 * sin (4 * x/2) * cos (2 * x/2) = 0;  

2 * sin (2 * x) * cos (x) = 0;  

Значит, уравнение имеет корни при sin (2 * x) = 0; 

2 * x = pi * n, n принадлежит Z;  

x = pi/2 * n, n принадлежит Z;  

Ответ: x = pi/2 * n, n принадлежит Z.