Докажите,что функция F(X)=5/X + 1/3 есть первообразная для функции f(x)= -5/x^2 + 1/3 на промежутке (о;∞) ?

Найдём производную нашей данной функции: f(x) = (5 / x) + (1 / 3) * x.

Эту функцию можно записать так: f(x) = 5 * x^(-1) + (1 / 3) * x.

Воспользовавшись основными формулами дифференцирования и правилами дифференцирования:

(x^n)’ = n * x^(n-1).

(1 / x)’ = (-1 / x^2).

(с)’ = 0, где с – const.

(с * u)’ = с * u’, где с – const.

(u ± v)’ = u’ ± v’.

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f(x)\' = (5 * x^(-1) + (1 / 3) * x)’ = (5 * x^(-1))’ + ((1 / 3) * x)’ = -5 * x^(-2) + (1 / 3) = (-5 / x^2) + (1 / 3).

Таким образом f(x) = (5 / x) + (1 / 3) * x это первообразная для f(x) = (-5 / x^2) + (1 / 3).