При каком значении а функция у=1/3х³+ах²+х возрастает

   1. Найдем производную функции:

• у = 1/3 * х^3 + ах^2 + х;
• у\' = х^2 + 2ах + 1.

   2. Для того, чтобы функция была возрастающая на всем множестве действительных чисел, необходимо, чтобы производная функции принимала только неотрицательные значения:

      х^2 + 2ах + 1 ≥ 0. (1)

   3. Неравенство (1) верно при любом значении x, если квадратный трехчлен не имеет двух корней, т. е. дискриминант меньше или равен нулю:

• D = (2a)^2 - 4 * 1 = 4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1);

• 4(a^2 - 1) ≤ 0;
• a^2 - 1 ≤ 0;
• a^2 ≤ 1;
• a ∈ [-1; 1].

   Ответ: [-1; 1].