Log по основанию x^2 + 2 из 3х+6 больше или равно 1

log_{(x² + 2)}(3х + 6) ≥ 1.

1) Разберем ОДЗ:

х² + 2 > 0; x² > -2 (х - любое число).

х² + 2 не равен 1; x² не равен -1 (х - любое число).

3х + 6 > 0; 3x > -6; x > -2.

2) Представим единицу как логарифм с основанием (х² + 2):

log_{(x² + 2)}(3х + 6) ≥ log_{(x² + 2)}(х² + 2).

3) Так как значение х² + 2 всегда больше единицы, получается неравенство:

3х + 6 ≥ х² + 2.

-х² + 3х + 6 - 2 ≥ 0.

-х² + 3х + 4 ≥ 0.

Умножим неравенство на (-1), знак неравенство перевернется:

х² - 3х - 4 ≤ 0.

4) Рассмотрим функцию у = х² - 3х - 4, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х² - 3х - 4 = 0.

D = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

х₁ = (3 - 5)/2 = -2/2 = -1.

х₂ = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1; 4]. Подходит по ОДЗ.

Ответ: х принадлежит промежутку [-1; 4].