Докажите, что значение выражения (n+4)²-n² при нечетных n делится на 8

1. Для доказательства разделим исходное выражение (C) на 8:

A = C / 8 = ((n + 4)² - n²) / 8 = 2 * (((n + 4)² - n²) / 16) = 2 * B;

2. B = (n + 4)² / 16) - (n² / 16) = ((n + 4) / 4)² - (n / 4)² =

((n + 4) / 4 + n / 4) * ((n + 4) / 4 - n / 4) =

(2 * n / 4 + 4 / 4) * (4 / 4) = 2 * (n + 2) / 4 = (n + 2) / 2;

3. A = 2 * B = 2 * (n + 2) / 2 = n + 2;

4. Как видим, выражение (A) целое при любом (n), а не только при нечетных значениях.

5. Можно выделить из выражения (A) сомножитель, кратный 8:

С = (n + 4)² - n² = ((n + 4) + n) * ((n + 4) - n) =

(2 * n + 4) * 4 = 2 * (n +2) * 4 = 8 * (n +2);

A = C / 8 = n + 2.