Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х+у=4, у=3х и осью Оу

Преобразуем первое уравнение:

x + y = 4;

y = 4 - x.

Найдем точку пересечения прямых, для этого приравняем уравнения друг к другу:

4 - x = 3x;

2x = 4;

x = 2.

Вычислим точки пересечения с осью  Ox:

4 - x = 0;

x = 4.

3x = 0;

x = 0.

Тогда площадь фигуры будет S равна разности интегралов:

S = ∫(4 - x ) * dx|0;4 -∫2x * dx|0;2 - ∫(4 - x) * dx|2;4  = 4x - 1/2 * x^2|0;4 - x^2|0;2 - (4x - 1/2 * x^2)|2;4 = 8 - 4 - 2 = 2.

Ответ: искомая площадь фигуры, образованная заданными линиями, составляет 2.