x+6-x^2/x^2+2x+1 больше или равно 0

(x + 6 - x²)/(x² + 2x + 1) ≥ 0.

Вынесем минус из числителя и умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

(-x² + x + 6)/(x² + 2x + 1) ≥ 0.

-(x² - x - 6)/(x² + 2x + 1) ≥ 0.

(x² - x - 6)/(x² + 2x + 1) ≤ 0.

Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Получается две системы: 1) x² - x - 6 ≥ 0; x² + 2x + 1 < 0 и 2) x² - x - 6 ≤ 0; x² + 2x + 1 > 0.

1) x² - x - 6 ≥ 0; 

Рассмотрим функцию у = x² - x - 6, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² - x - 6 = 0.

D = 1 + 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (1 - 5)/2 = -4/2 = -2.

х₂ = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -2 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -2] и [3; +∞).

x² + 2x + 1 < 0.

у = x² + 2x + 1, это квадратичная парабола, ветви вверх.

у = 0; x² + 2x + 1 = 0.

D = 4 - 4 = 0 (один корень);

х = -2/2 = -1.

Парабола касается оси х в точке (-1), число не входит в промежуток, ветви вверх. Знак неравенства < 0, решения неравенства нет.

Значит, нет решения системы.

2) x² - x - 6 ≤ 0;

Корни неравенства (-2) и 3, решение неравенства [-2; 3].

 x² + 2x + 1 > 0.

Корень неравенства (-1), решение неравенства (-∞; -1) и (-1; +∞).

Решение системы неравенств: [-2; -1) и (-1; 3].