В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен 15°. Найти гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике АВС известно:

• Высота, опущенная на гипотенузу, равна 1, то есть СН = 1; 
• Угол А = 15 °. 

Найдем гипотенузу АВ. 

Решение: 

1) Рассмотрим треугольник ACH, с прямым углом Н. Так как, высота СН перпендикулярна гипотенузе АВ. 

В треугольнике АСН: 

Катет СН  = 1; 

АС - гипотенуза. 

sin a = CH/AC; 

Отсюда выразим АС. 

АС = СН/sin a = 1/sin 15; 

2) AH = √(AC^2 - CH^2) = √(1/sin 15)^2 - 1) = √(1/sin^2 15 - 1) = √((1 - sin^2 15)/sin^2 15) = √((sin^2 15 + cos^2 15 - sin^2 15)/sin^2 15) = √(cos^2 15/sin^2 15) = cos 15/sin 15; 

3) AC^2 = AB * AH; 

AB = AC^2/AH; 

AB =  (1/sin 15)^2/(cos 15/sin 15) = 1/sin^2 15 * sin 15/cos 15 = 1/(sin 15 * cos 15) = 1/(1/2 * sin 30) = 1/(1/2 * 1/2) = 1/(1/4) = 4/1 = 4. 

Ответ: АВ = 4.