вычислить площадь фигуры ограниченной линии y=-x^2+4 и y=x^2-2x

Найдем точки пересечения графиков, для этого приравняем уравнения функций друг к другу:

-x^2 + 4 = x^2 - 2x;

x^2 - x - 2 = 0;

x12 = (1 +- √1 - 4 * (-2)) / 2 = (1 +- 3) / 2;

x1 = (1 + 3) / 2 = 2; x2 = (1 - 3) / 2 = -1.

Тогда площадь фигуры, образованной заданными линиями, будет равна разнице интегралов: 

S = ∫(-x^2 + 4) * dx|-1;2 -∫(x^2 - 2x) * dx|-1;2 = (-1/3x^3  + 4x)|-1;2 - (1/2x^2 - x)|-1;2 = (-8/3 + 8 - 1/3 - 4) - (2 - 2 - 1/2 + 1) = 1 - 1/2 = 1/2.

Ответ: искомая площадь S составляет 1/2.