1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=1/3x^3-x^2+1 на отрезке [-1;3]. 2. При каких значениях параметра

1.  Решение: 

Найдем производную: ( 1/3x ³ - x ² + 1 ) \' = х² - 2х.

Найдем критические точки , решив уравнение х² - 2х = 0;

х ² - 2х=0 ⇒ х ( х - 2) = 0 ;  х₁ = 0 , х₂ = 2 ;

Найденные значения находятся на отрезке [-1;3]. Подставляем -1, 0, 2, 3 в функцию и вычисляем его значения:

у(-1) = -1/3 ; у(0) = 1 ; у(2) = -1/3 ; у(3) = 1 ;

Из найденных значений  выбираем   наименьшее  -1/3\\ ; и  наибольшее  1

Ответ: -1/3 ; 1.

 2.  Решение: 

1) При a=0 ⇒  y = -30x² +45x - 7  парабола, не имеет смысла. 

2) Чтобы график функции у = 5/3 ах ³ - 30x ² + 5(a+9)x - 7  возрастал нужно, что бы  её производная была положительна на числовом промежутке.

Найдем производную функции: y\'=5ax² - 60x + 5(a + 9).

Делим все члены на 5 ; исследуем ax ² - 12x + a + 9  при ;

a ≠ 0 ; имеем два случая ; { a > 0 ; D < 0 ⇔{ a > 0 ; D/4 < 0  ; {a>0 ; 6² -a(a+9)<0.  {a>0 ; a² -9a -36 >0 .   {a>0 ; (a +3)(a -12) >0 . {a>0 ; a∈( -∞; -3) U (12;∞).     a> 12. ответ:   a> 12