(e^x -1)(e^y -1)=1 Вычистить производную y'

Воспользовавшись формулами:

(e^x)’ = e^x (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (e^x / (1 + (e^x))’ = ((e^x)’ * (1 + (e^x)) – ((e^x) * (1 + (e^x)’) / (1 + e^x)^2 = ((e^x) * (1 + (e^x)) – ((e^x) * (e^x)) / (1 + e^x)^2 = ((e^x) * (1 + (e^x)) – (e^x)) / (1 + e^x)^2 = ((e^x) * 1) / (1 + e^x)^2 = (e^x) / (1 + e^x)^2.

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

y\' (0) = (e^0) / (1 + e^0)^2 = 1 / (1 + 1)^2 = 1 / 2^2 = 1 / 4.

Ответ: y\' = (e^x) / (1 + e^x)^2, a y\' (0) = 1 / 4.