В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

Рассмотрим треугольник MNP. По условию задачи угол NKP острый.

Заметим, что угол NKP и угол MKP - смежные, а значит:

NKP + MKP = 180°.

Угол NKP острый и значит: NKP < 90°. Тогда MKP  > 90°.

Из треугольника MPK имеем:

KMP + MPK + MKP = 180°,

KMP + MPK < 90°,

KMP < 90°.

Итак имеем, что KMP < 90° и MKP  > 90°. Значит, KMP < MKP и следовательно,  KP < MP, так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.