В треугольнике АВС АС=3, ВС=4, медианы АК и ВЛ перпендикулярны между собой. Найдите площадь треугольника АВС.

Свойство медиан: если медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в пять раз больше третьей стороны.

В нашем треугольнике медиана АК опускается на сторону ВС, медиана ВЛ - на АС. 

Из свойства следует:

ВС2 + АС2 = 5 * АВ2.

42 + 32 = 5 * АВ2

АВ = √((16 + 9)/5) = √(25/5) = √5.

Для нахождения площади, используется формула Герона: 

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где р - полупериметр.

р = (3 + 4 + √5)/2 = (7 + √5)/2

S = √((7 + √5)/2 * ((7 + √5)/2 - 3) * ((7 + √5)/2 - 4) * ((7 + √5)/2 - √5)) = √(7 + √5)/2 * (7 + √5 - 6)/2 * (7 + √5 - 8)/2 / (7 + √5 - 2 * √5)/2) = √((7 + √5)/2 * (1 + √5)/2 * (√5 - 1)/2 * (7 - √5)/2) = √(((7 + √5) * (7 - √5))/4 * ((√5 - 1) * (√5 + 1))/4) = √((49 - 5)/4 * (5 - 1)/4) = √(44/4 * 1) = √11.