В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=64 и CH=16. Найдите cos∠B.

В треугольнике ABC известно: 

• AB = BC; 
• Высота AH делит сторону BC на отрезки; 
• BH = 64; 
• CH = 16. 

Найдем cos ∠B. 

Решение: 

1) ВС = ВН + СН = 64 + 16 = 70 + 10 = 80; 

2) Так как, треугольник АВС равнобедренный, тогда: 

АВ = ВС = 80; 

3) Вычислим высоту АН. 

АН^2 = BH * CH; 

AH = √(BH * CH) = √(64 * 16) = √64 * √16 = 8 * 4 = 32; 

3) Рассмотрим треугольник АСН с прямым углом Н. 

АС = √(32^2 + 16^2) = √(1024 + 256) = √1280 = √(256  * 5) = 16√5; 

4) Теорема косинусов. 

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos b; 

16 * 16 * 5 = 80 * 80 + 80 * 80 - 2 * 80 * 80 * cos b; 

16 * 80 = 80 * 80 + 80 * 80 - 2 * 80 * 80 * cos b;  

16 = 80  + 80  - 2 * 80  * cos b;  

1 = 5  + 5  - 2 * 5  * cos b;  

1 - 10 = -10 * cos b; 

cos b = -9/(-10); 

cos b = 0.9.