Высота равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите его периметр.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС, в нем все стороны равны: АВ = ВС = АС.

Допустим, что высота, равная 13√3, проведена к стороне АС, обозначим ее ВО. Тогда треугольник АВО — прямоугольный, в котором АВ — гипотенуза, ВО и ОА — катеты.

Обозначим сторону АВ за х.

Так как в равностороннем треугольнике высота является и медианой стороны, к которой она проведена, то АО = АС/2 = АВ/2 = х/2.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

(13√3)^2 + (х/2)^2 = х^2;

507 + (х^2)/4 = х^2;

2028 + х^2 = 4 * х^2;

2028 = 4х^2 - х^2;

2028 = 3х^2;

х^2 = 2028 : 3;

х^2 = 676;

х = 26.

Находим, что сторона АВ равна 26. Значит, и стороны ВС и АС равны 26.

Вычислим периметр заданного треугольника как сумму длин всех его сторон:

P = АВ + ВС + АС = 26 + 26 + 26 = 26 * 3 = 78.

Ответ: 78.