Найти все значения а, при которых один из корней уравнения 4х²-15х+4а²=0 равен квадрату другого корня.

Рассмотрим уравнение:

4 * х^2 - 15 * х + 4 * а^2 = 0.

Дискриминант этого квадратного уравнения:

D = 15^2 - 4 * 4 * 4 * а^2 = 225 - 64 * а^2.

Уравнение будет иметь 2 корня, только если:

D > 0, 225 - 64 * а^2 > 0, 

64 * а^2 < 225,

-15 / 8 < a < 15 / 8.

Пусть корни уравнения х1, х2.

По теореме Виета имеем:

х1 * х2 = а^2 и

х1 + х2 = 15 / 4.

Так как по условию задачи один корень равен квадрату другого, то:

х2 = х1^2,

х1 * х2 = х1^3 = а^2, х1 = а^(2 / 3).

Также имеем:

х1 + х1^2 = 15 / 4,

х1^2 + х1 - 15 / 4 = 0,

Д = 1 + 4 * 15 / 4 = 16,

х1(1,2) = ( -1 +- √16) / 2, х1 = 3 / 2 или х1 = - 5 / 2.

Второй корень не принадлежит интервалу (-15 / 8 , 15 / 8), значит остаётся единственное решение:

х1 = 3 / 2,

х1^3 = а^2,

а^2 = (3 / 2)^3,

а = +- (3 / 2) * √3 / 2.