Из точки к плоскости треугольника со сторонами 13,14 и 15 проведён перпендикуляр,основание которого - вершина угла,противолежащего

Для решения задачи нарисуем рисунок.

Решение:

По условию АВ = 13, АС = 15, ВС = 14, ЕО = 20.

ЕО является перпендикуляр к ВС, так как это будет кротчайшее расстояние к ВС.  АО является проекцией  ЕО на плоскость треугольника АВС.  Углы АОС и АОВ = 90 градусов.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника АОС и АОВ, у которых общий катет АО.

По теореме Пифагора найдем этот катет для каждого из треугольников.

АО² = АВ² - ВО².

АО² = АС² - ВО².

Тогда  АВ² - ВО² = АС² - СО².

Зная, что СВ = 14, тогда ВО = 14 – СО.

Тогда  АВ² - (14 – СО )² = АС² - СО².

13² - (14 – СО )² = 15² - СО².

13² - (14² –  2 х 14 х СО + СО² ) = 15² - СО².

13² - 14² + 28 х СО - СО²  = 15² - СО².

28 х СО = 196 + 225 - 169.

СО =  252 / 28.

СО = 9.

Тогда ВО = 14 – 9 = 5.

Теперь можно найти АО² = АВ² - ВО² = 13² - 5² = 169 – 25 = 144.

АО = 12.

Теперь можно определить требуемую величину отрезка  АЕ.

АЕ² = ЕО² - АО² = 20² - 12² = 400 – 144 = 256.

АЕ = 16.

Ответ: АЕ = 16.