1)Число 9 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное

1. Пусть x, y - числа удовлетворяющие условию задачи. Тогда:

x >= 0, y >= 0 и x + y = 9. Из этого сразу вытекает:

x = 9 - y <= 9 и x <= 9, т.е. 0 <= x <= 9 и 0 <= y <= 9.

Нам необходимо найти такие x, y, что x^2 * 3 * y было наибольшим.

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 * 3 * (9 - x) = 27 * x^2 - 3 * x^3 на интервале 0 <= x <= 9.

Найдем точки экстремума: производная f(x) = 54 * x - 9 * x^2 = 

= 9 * x * (6 - x) = 0, x=0 и x = 6. На интервале 0 < x < 6 производная положительная, а на 6 < x < 9 - отрицательная.

значит максимум достигается в точке x = 6. Искомое представление:

9 = 6 + 3.

2. f(x) = sin(x) - 3 * x.

Производная f(x) = cos(x) - 3.

-1 <= cos(x) <= 1, -4 <= cos(x) - 3 <= -2 и значит при любом x отрицательна. Следовательно, f(x) убывает на R.