При каких значениях параметра b прямая y=2x+b является касательной к графику функции y=x*|6x+1|?

   1. Найдем корень двучлена:

• 6x + 1 = 0;
• 6x = -1;
• x = -1/6.

   2. Угловой коэффициент прямой:

• y = 2x + b;
• k = 2.

   3. Рассмотрим два промежутка (-∞; -1/6) и [-1/6; ∞) и найдем точки, в которых производная функции равна угловому коэффициенту k (http://bit.ly/2K3SgvR):

   a) x ∈ (-∞; -1/6).

• y = x * |6x + 1|;
• y = -(6x + 1)x = -6x^2 - x;

• y\' = -12x - 1;
• y\' = k;
• -12x - 1 = 2;
• -12x = 3;

• x = -3/12 = -1/4 ∈ (-∞; -1/6).
• y = -x(6x + 1) = 1/4 * (-6 * 1/4 + 1) = 1/4 * (-3/2 + 1) = 1/4 * (-1/2) = -1/8;

• b = y - 2x;
• b = -1/8 + 2 * 1/4 = -1/8 + 4/8 = 3/8.

   b) x ∈ [-1/6; ∞).

• y = x * |6x + 1|;
• y = (6x + 1)x = 6x^2 + x;

• y\' = 12x + 1;
• y\' = k;
• 12x + 1 = 2;
• 12x = 1;

• x = 1/12 ∈ [-1/6; ∞).
• y = x(6x + 1) = 1/12 * (6 * 1/12 + 1) = 1/12 * (1/2 + 1) = 1/12 * 3/2 = 1/8;

• b = y - 2x;
• b = 1/8 - 2 * 1/12 = 1/8 - 1/6 = (3 - 4)/24 = -1/24.

   Ответ: -1/24 и 3/8.