В геометрической прогрессии (an) a12=128, a15=1024. Найдите знаменатель прогрессии (an).

Дано: a_n – геометрическая прогрессия;

a₁₂ = 128, a₁₅ = 1024;

Найти: q - ?

Формула члена геометрической прогрессии: a_n = a₁ * q^(n – 1),

где a₁ – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.

Запишем с помощью этой формулы двенадцатый и пятнадцатый члены заданной прогрессии:

a₁₂ = a₁ * q^(12 – 1) = a₁ * q^11;

a₁₅ = a₁ * q^(15 – 1) = a₁ * q^14.

Из полученных выражений составим систему уравнений:

a₁ * q^11 = 128,                   (1)

a₁ * q^14 = 1024                  (2)

Из (1) уравнения выразим a₁:

a₁ = 128 : q^11,

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

128 : q^11 * q^14 = 1024;

128 * q^3 = 1024;

q^3 = 8;

q = 2. Полученное значение q подставляем в выражение для нахождения первого члена:

a₁ = 128 : q^11 = 128 : 2^11 = 128 : 2048 = 0,0625.

Ответ: q = 2.