При каких значениях m вершины парабол y= x2 -2mx+m и y=x2+ 4mx- 8m расположены по разные стороны от очи Ox

   1. Для определения координат вершины параболы, выделим полные квадраты двучленов:

   a) y = x^2 - 2mx + m;

• y = x^2 - 2mx + m^2 - m^2 + m;
• y = (x - m)^2 - m^2 + m;
• y = (x - m)^2 + (m - m^2);

• x1 = m;
• y1 = m - m^2;

   b) y = x^2 + 4mx - 8m;

• y = x^2 + 4mx + 4m^2 - 4m^2 - 8m;
• y = (x + 2m)^2 - (4m^2 + 8m);

• x2 = -2m;
• y2 = -(4m^2 + 8m).

   2. Исследуем ординаты вершин парабол:

• y1 = m - m^2 = -m(m - 1);
• y2 = -(4m^2 + 8m) = -4m(m + 2).

   a) при m = 0:

      y1 = y2 = 0.

   Вершины лежат на оси абсцисс;

   b) при m ≠ 0, y1 и y2 должны иметь различные знаки:

• y1 * y2 < 0;
• -m(m - 1) * (-4m)(m + 2) < 0;
• 4m^2(m - 1)(m + 2) < 0;
• (m - 1)(m + 2) < 0;

• m1 = -2;
• m2 = 1;

      m ∈ (-2; 1).

   Ответ: (-2; 1).