Медиана AD треугольника ABC равна 4 см. Она со стороной АВ составляет 30°. АВ=3,2 см. Найдите неизвестные углы и стороны

   1. Для удобства вычислений рассмотрим подобный треугольник ABC (http://bit.ly/2JBJ8e5):

• AD = 4 * 5/4 = 5;
• AB = 3,2 * 5/4 = 4,

потом разделим все стороны на 5/4.

   2. Проведем перпендикуляры BM и CN к прямой AD:

• a) BM = CN = 4sin30° = 4 * 1/2 = 2;
• b) AM = 4cos30° = 4 * √3/2 = 2√3;
• c) MD = ND = AD - AM = 5 - 2√3;
• d) BD = CD = √((5 - 2√3)^2 + 2^2) = √(41 - 20√3);
• e) BC = 2 * BD = 2√(41 - 20√3);
• f) AN = AD + DN = 5 + 5 - 2√3 = 10 - 2√3;
• g) AC = √(AN^2 + CN^2) = √((10 - 2√3)^2 + 2^2) = 2√((5 - √3)^2 + 1^2) = 2√(29 - 10√3).

   3. В прямоугольном треугольнике BMD:

• tg∠MBD = MD/MB = (5 - 2√3)/2 = 2,5 - √3;
• ∠MBD = ∠NCD = arctg(2,5 - √3);
• ∠B = ∠MBD + 60° = arctg(2,5 - √3) + 60°.

   4. В прямоугольном треугольнике ANC:

• tg∠ACN = AN/CN = (10 - 2√3)/2 = 5 - √3;
• ∠ACN = arctg(5 - √3);
• ∠C = ∠ACN - ∠NCD = arctg(5 - √3) - arctg(2,5 - √3);
• ∠NAC = 90° - ∠ACN = 90° - arctg(5 - √3);
• ∠A = ∠BAM + ∠NAC = 30° + 90° - arctg(5 - √3) = 120° - arctg(5 - √3).

   5. Стороны первоначального треугольника:

• BC = 2√(41 - 20√3) * 4/5 = 1,6√(41 - 20√3);
• AC = 2√(29 - 10√3) * 4/5 = 1,6√(29 - 10√3).

Ответ:

• ∠A = 120° - arctg(5 - √3);
• ∠B = 60° + arctg(2,5 - √3);
• ∠C = arctg(5 - √3) - arctg(2,5 - √3);

• BC = 1,6√(41 - 20√3);
• AC = 1,6√(29 - 10√3).