В арифметической прогрессии имеется 20 членов. сумма членов с четными номерами 250, а сумма членов с нечетными номерами

Дано: а_n – арифметическая прогрессия;

n = 20;

S_ч = 250; S_н/ч = 220;

Найти: а₁ - ?; d - ?

Сумма n членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2.

Исходя из условия, запишем выражения для нахождения сумм 10-ти четных и 10-ти нечетных членов заданной прогрессии:

S_ч = (a₂ + a₂₀) * 10 / 2 = 250, т.е.:

(a₂ + a₂₀) / 2 = 25;

a₂ + a₂₀ = 50;

S_н/ч = (a₁ + a₁₉) * 10 / 2 = 220, т.е.:

(a₁ + a₁₉) / 2 = 22;

a₁ + a₁₉ = 44.

С помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии выразим второй, девятнадцатый и двадцатый члены заданной прогрессии: a_n = a₁ + d * (n – 1);

a₂ = a₁ + d;

a₁₉ = a₁ + 18d;

a₂₀ = a₁ + 19d.

Т.е. имеем:

a₁ + d + a₁ + 19d = 50;          и           a₁ + a₁ + 18d = 44;

2a₁ + 20d = 50;                                  2a₁ + 18d = 44.

Составим и решим систему уравнений:

2a₁ + 20d = 50,           (1)

2a₁ + 18d = 44            (2)

Из (1) уравнения системы выразим 2a₁:

2a₁ = 50 - 20d,

Полученное значение подставим во (2) уравнение системы:

50 - 20d + 18d = 44;

- 2d = -6;

d = 3.

Далее подставляем полученное значение d в (1) уравнение системы:

2a₁ = 50 - 20d;

2a₁ = 50 – 60;

a₁ = -5.

Ответ: a₁ = -5; d = 3.