Найди при каком значении параметра n сумма квадратов корней уравнения x2−2nx+22n2+8n=0 будет наибольшей?

   1. Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном дискриминанте:

• x^2 − 2nx + 22n^2 + 8n = 0;
• D/4 = n^2 - (22n^2 + 8n) = n^2 - 22n^2 - 8n = -21n^2 - 8n;
• -21n^2 - 8n ≥ 0;
• 21n^2 + 8n ≤ 0;
• n(21n + 8) ≤ 0;
• n1 = -8/21; n2 = 0;
• n ∈ [-8/21; 0].

   2. При этом, для корней уравнения выполняется теорема Виета:

      {x1 + x2 = 2n;      {x1 * x2 = 22n^2 + 8n.

   3. Для суммы квадратов корней имеем:

• S(n) = x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2;
• S(n) = (2n)^2 - 2(22n^2 + 8n) = 4n^2 - 44n^2 - 16n = -40n^2 - 16n.

   Наибольшее значение получим в вершине параболы:

      n(max) = -b/2a = -16/80 = -1/5 = -0,2 ∈ [-8/21; 0].

   Ответ: n = -0,2.