Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат: Ф = sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(2), x=0,

   1. Значения x и y меняются в пределах:

• x ∈ [0; 2];
• y ∈ [0; 2].

   2. Выразим y через x:

• √x + √y = √2;
• √y = √2 - √x;
• y = (√2 - √x)^2.

   3. Объем тела вращения:

• dV = πy^2dx;
• dV = π(√x - √2)^4dx.

   Пусть:

      √x - √2 = t.

   Тогда:

• x1 = 0; t1 = -√2;
• x2 = 2; t2 = 0;
• √x = t + √2;
• 1/2√x * dx = dt;
• dx = 2√xdt = 2(t + √2)dt;

• dV = πt^4 * 2(t + √2)dt = 2π(t^5 + √2t^4)dt;
• V(t) = ∫2π(t^5 + √2t^4)dt;
• V(t) = 2π(t^6/6 + √2t^5/5);
• V(t1) = V(-√2) = 2π(8/6 - 8/5) = 16π(1/6 - 1/5) = 16π(5 - 6)/30 = -16π/30 = -8π/15;
• V(t2) = V(0) = 0;
• V = V(t2) - V(t1) = 0 - (-8π/15) = 8π/15.

   Ответ: 8π/15.