Число 34 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, так чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть a и b - положительные числа, такие что a + b = 34.

Сумма квадратов a и b:

a^2 + b^2 = a^2 + (34 - a)^2.

Рассмотрим функцию S(a) = a^2 + (34 - a)^2 и найдем при каких значениях a она принимает минимальное значение. Имеем:

S(a) = a^2 + (34 - a)^2 = 2 * a^2 -68 * a + 34^2 = 2 * (a^2 - 34 * a + 34^2 / 2) =

2 * ( (a - 17)^2 - 17^2 + 34^2 / 2) = 2 * ((a - 17)^2 + 289).

Очевидно, что (a - 17)^2 >= 0 и выражение слева равно нулю при a = 17.

S(a) >= 2 * 289 и при a = 17 достигается минимум.

Итак, искомое разложение:

34 = 17 + 17.