Каковы должны быть стороны прямоугольника, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?

Решение задачи:

1) Найдем одну из сторон для прямоугольника:

P = 2(a + b),

120 = 2 (a + b),

60 = a + b,

b = 60 - а.

2) Площадь:

S = ab = a * (60 - а) = 60a - а²,

S = 60a - а², функция с одной неизвестной, а.

3) Применяем производную:

S\' = (60a - а²)\' = 60 - 2a, приравниваем S\' = 0,

60 - 2a = 0,

2а = 60,

а = 60 : 2,

а = 30 - критическая точка, а максимум функции в этой точке:

S(30) = 60 * 30 - 30² = 1800 - 900 = 900;

b = 60 - а = 60 - 30 = 30.

Проверка: 120 = 2(30 + 30).

Ответ: стороны прямоугольника должны быть по 30 м.