Найти натуральное число A , если из трех следующих утверждений два верны, а одно -- неверно: а) A+51 есть точный квадрат,

   Рассмотрим каждый из трех случаев.

   1. а) и б) верны, в) неверно:

• A ≡ 1 (mod 10);
• A + 51 ≡ 52 ≡ 2 (mod 10).

   Квадрат натурального числа не может оканчиваться на цифру 2. Нет решений.

   2. б) и в) верны, а) неверно:

• A ≡ 1 (mod 10);
• A - 38 ≡ 1 - 38 ≡ -37 ≡ 3 (mod 10).

   Квадрат натурального числа не может оканчиваться на цифру 3. Нет решений.

   3. а) и в) верны, б) неверно:

• {A + 51 = a^2;{A - 38 = b^2;
• {A + 51 = a^2;{a^2 - b^2 = 89;
• {A = a^2 - 51;{(a + b)(a - b) = 89;
• {A = a^2 - 51;{a + b = 89;{a - b = 1;
• {A = 45^2 - 51;{a = 45;{b = 44;
• {A = 1974;{a = 45;{b = 44.

   б) неверно, значит, число 1974 удовлетворяет условию задачи.

   Ответ: 1974.